Resolviendo un problema de lógica matemática

El día de hoy me encontré con un poco de tiempo libre, así que decidí ir a tomarme un café en uno de los centros comerciales del país, mientras leía el diario para pasar el rato me encontré con la publicación de la olimpiada nacional de matemática, dado que a mí me gusta el tema de las matemáticas, decidí darle una ojeada a los problemas publicados y uno me llamó la atención, principalmente porque tenia un triangulo con 6 círculos inscritos en sus lados, por lo que decidí leer el enunciado del mismo, el cual decía así:

"En el siguiente triángulo es posible colocar los números ½, 1,1½, 2, 2½ y 3, una sola vez, de tal forma que la suma de los números en cada lado de triangulo sea 4½. Determine la forma de colocar los números. Justifique la posición de cada número".

Uno de los puntos a remarcar sobre este problema es que estaba bajo el titulo "Sexto grado", lo cual significa que un alumno de ese nivel académico debería estar capacitado para resolverlo, todo esto de alguna forma despertó mi curiosidad, y siendo que yo me dedico a enseñar matemática, decidí analizar el problema para ver si podía encontrar la solución (como una forma de ponerme a prueba).

Al reflexionar sobre el enunciado me di cuenta que lo primero que hay que tomar en cuenta es que los números que aparezcan en los vértices afectarán la suma en 2 lados (los lados del vértice), por lo que lo más recomendable es colocar los números más grandes (2, 2½ y 3) en los espacios en medio de los rombos, así nos evitamos (por ejemplo) el problema de tener que lograr el valor buscado teniendo el número 3 en dos lados del triangulo, al llenar los espacios con los números mencionados obtenemos el siguiente resultado:

Al reflexionar un poco más para ver si iba en el camino correcto me dí cuenta que otra de las ventajas de este razonamiento es que de golpe había colocado 3 de los 6 números, ahora sólo era necesario encontrar la posición correcta para 2 más (el tercero, por eliminación, iría en la última posición disponible), para lograr esto tenía 3 posibles caminos:

a) Utilizar el lado que tiene el 2

b) Utilizar el lado que tiene el 3

c) Utilizar el lado que tiene el 2½

Mientras terminaba mi café encontré la solución para el lado que tiene el 3, sin embargo, la solución a este problema es la misma sin importar cual número se elija y como prueba de esto, a continuación comparto con ustedes cada una de dichas soluciones.

a) Solución para el lado que tiene el 2: Como lo que buscamos es que la suma de los tres números de como resultado 4½ mediante una resta encontramos que los otros 2 números debe ser 2½ (4½-2=2½), los únicos dos números (de los tres posibles) que dan este resultado son 1 y 1½, ahora sólo hace falta encontrar la ubicación correcta para cada uno, para esto se tienen dos opciones, una de las cuales es la que se muestra en la siguiente figura:

Esta distribución resulta ser la correcta, ya que al intercambiar posiciones el 1½ queda en linea con el 3 por lo que para obtener la suma buscada (4½) el tercer número debería ser 0 (el cual no es parte del conjunto de números del problema), así la ultima casilla corresponderá al último numero disponible: ½.

b) Solución para el lado que tiene el 3: Al igual que en el caso anterior, primero obtenemos los números que completan el 4½, para ello, hacemos la misma resta: 4½-3=1½, de los números disponibles solamente se puede obtener 1½ al sumar 1 y ½ y las posiciones de estos números (al igual que en el caso anterior) se obtiene por prueba y error, las posiciones correctas se muestran en la siguiente figura:

Nota: Al intercambiar las posiciones, por ejemplo, en el lado que tiene al 2½ necesitaríamos colocar en el  vértice restante otro número 1 para completar el 4½ y en el que tiene al 2 tendríamos que disponer de otro número 2 para obtener la suma buscada, en este caso la última casilla tendría al último número disponible 1½. 

c) Solución para el lado que tiene el 2½: Procediendo de la misma forma obtenemos que los números a colocar en las esquinas del triángulo son ½ y 1½ y que las posiciones correctas en este caso son las que se muestran en la siguiente figura:

Como comprobación, al intercambiar las posiciones obtenemos la misma contradicción que mencionamos en el literal "a" ya que en uno de los lados tendríamos 3 y 1½, lo cual ya verificamos que no es la solución correcta, en la última casilla colocamos al último número disponible: 1.

Tal como hemos demostrado en los literales anteriores, sin importar el camino que elijamos, al final siempre obtendremos la solución mostrada en la siguiente figura:

Con esto queda demostrado que las matemáticas no son algo del otro mundo, solamente se requiere a alguien que nos muestre el camino, y como ya he mencionado anteriormente, en mi tiempo libre me dedico a la enseñanza de las matemáticas por lo que me llena de orgullo haber podido resolver este problema mentalmente mientras me tomaba mi café.

Nota: Sobre el tema de la enseñanza de las matemáticas tengo una página en Facebook, la cual puede ser visitada dando click aquí.